Trigonometria

Iniciaremos nossa proposta de aula realizando junto aos alunos uma pesquisa sobre a história da Matemática, mais especificamente sobre as origens da trigonometria.
No endereço http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/trigonometria.html encontramos fatos e curiosidades interessantes sobre o surgimento da trigonometria. Faça umas pesquisa sobre Hiparco, considerado o pai da trigonometria.
A história da Matemática é considerada uma ferramenta pedagógica muito importante, pois mostra ao aluno que a Matemática começou a ser desenvolvida conforme necessidades e condições do ser humano em um dado momento histórico. Logo, possibilita situar o aluno diante do assunto proposto.
Neste mesmo momento utilizaremos o software educativo “Medidas e Ordem de Grandezas”, e entre as atividade existentes aproveitaremos apenas a atividade 3. Este software pode ser encontrado no endereço:

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/852

Nesta atividade o software explica o funcionamento de um Teodolito numa atividade onde o personagem deve calcular a largura de um lago para construir uma ponte de um lado a outro de um bairro.

Para saber mais sobre Teodolitos pode-se utilizar como forma de pesquisa o endereço:
Obs: Para abrir este recurso clique em "abrir/salvar" na parte inferior da página, e na janela aberta clique em "salvar" e crie uma pasta específica para este fim, após salvo clique com o botão direito do mouse sobre o arquivo e clique sobre a opção "extract to 23\". Com isso teremos criado uma pasta para o recurso, abra esta pasta e com um duplo clique nos ícones de arquivo da internet iniciamos nossa atividade.

http://www.if.ufrgs.br/oei/santiago/fis2006/teodolito.htm 

 

Imagem encontrada no endereço www.unisantos.br

Nesta atividade, o software propõe um método para medir a largura do lago e seu aluno deve decidir sobre os passos a serem seguidos utilizando para isso a simulação do uso de um teodolito, formando um triângulo retângulo e utilizando relações trigonométricas para resolver o problema.
O aluno deverá compreender a importância que as relações trigonométricas desempenham nas medidas indiretas de distâncias, como, por exemplo, a largura de um lago ou a altura de uma torre. Ao manusear o teodolito o aluno, através do personagem, pode definir os pontos de referência e assim decidir os ângulos.

 

Os alunos serão divididaos em grupos de acordo com o número de computadores disponíveis em sua escola. O trabalho em grupo em atividades como essa favorece a criação de hipóteses e esta possibilita a construção de registros das atividades realizadas.

 

 Após realizar a simulação é conveniente que escrevam um relatório explicando os métodos utilizados, descrevendo, as instruções que devem ser seguidas, e a eficiência desse instrumento na medida da largura do lago.
Após decidir os pontos, os alunos deverão utilizar os dados obtidos e escolhendo uma relação trigonométrica conveniente a fim de determinar as distâncias almejadas.
Todos os cálculos necessários deverão ser realizados numa “tela de cálculos” através da qual o aluno deverá apenas decidir sobre a equação mais conveniente para esta situação, organizar os dados e obter o resultado.
Realize os seguintes questionamentos aos seus alunos sobre medidas indiretas:

• É possível utilizar este método para medir outras distâncias?Quais?
• Em que situações você utilizaria esta estratégia?
• Você conhece outros métodos de medidas indiretas? Cite-os.

Após essa atividade presume-se que os alunos já possuam conhecimento de alguns conceitos básicos de relações trigonométricas, como as razões seno, cosseno e tangente, proponho a utilização, nesse mesmo momento, de outro recurso disponível no Portal, encontrado no endereço:

http://www.rived.mec.gov.br/site_objeto_ver.php?codobjeto=150

Este software possui duas atividades, onde os alunos lidarão com vários ângulos e distâncias distintas, para designar onde ficará o carro do corpo de bombeiro, para que os bombeiros possam subir pelo lado externo de um prédio em chamas com o fim de salvar vidas. Na primeira atividade aparecerá o carro de bombeiro posicionando-se próximo de um prédio em chamas. O aluno deverá alterar o ângulo que a escada faz com o carro, e o tamanho da escada e também o ângulo que a escada faz com o carro de bombeiro, aumentando ou diminuindo. Permitindo que o aluno perceba a relação existente entre o ângulo e a altura do prédio.Professora, estimule seus alunos a criarem hipóteses sobre a existência de alguma relação entre o ângulo e a altura do prédio. É interessante que escrevam as hipóteses levantadas e compartilhem com a classe, tornando a aula um momento de discussão sobre o que se pensa e o que se encontra quando resolvemos problemas matemáticos.

Na segunda atividade seus alunos precisarão encontrar o comprimento da escada e a distância que o carro estará do prédio, de acordo com o ângulo dado, para que os bombeiros possam alcançar o prédio no andar indicado na tabela.
Etapa II
Nesta segunda etapa colocaremos em prática o conhecimento adquirido com a utilização dos recursos utilizados na primeira etapa.
Para essa atividade proponho duas formas distintas de abordagem: construir e levar pronto os teodolitos aos alunos ou realizar sua construção em sala, sendo essa mais indicada, pois possibilita a reelaboração e construção de conceitos quando se constrói um instrumento de medida, instigando-os a buscar conhecimento necessários a esta situação.
Optando pela primeira, aconselhamos a criação de um teodolito feito com base de madeira e um prumo para aumentar sua resistência e precisão.

Para os próprios alunos realizarem sua construção em sala de aula, um aparelho mais simplificado é recomendado.
Material necessário:

• Pote redondo com tampa (a tampa deve possuir movimento circular fixado ao pote);
• Canudo cilíndrico reto (o buraco interno deve ter o diâmetro de forma que seja possível visualizar o outro lado);
• Transferidor ou o desenho deste;
• Tabela de valores da tangente;
• cola;
• arame de comprimento maior que o diâmetro do transferidor;

Se o transferidor for feito de papel, recorte-o e fixe-o em um papelão. Fure a parte superior do pote com o arame e deixe aparecendo igualmente dos dois lados. Cole o pote de invertido no meio do transferidor e fixe o canudo paralelamente ao arame em cima do pote.

Imagem de aluno construindo um teodolito encontrada no endereço br.geocities.com

Com o teodolito pronto, divida seus alunos em grupos.
De acordo com a disponibilidade de cada escola podemos utilizar esse mecanismo de medida em diversas situações variadas como medir a quadra de esportes da escola ou a altura de um prédio ou uma torre;
Instrua seus alunos a posicionarem o teodolito caseiro de modo que a sua base fique perpendicular ao objeto que vamos medir. Medimos a distância do objeto até o teodolito com uma trena. Através do canudo, eles deverão observar o ponto mais alto do objeto, com isso o arame marcará um ângulo no transferidor. E através desse ângulo usamos a razão tangente para obter suas medidas.
Professor note que devemos considerar a altura que o teodolito está posicionado.

 Etapa III

Esta atividade possui um caráter investigativo e grande potencial didático, pois além de ser interessante, permite mostrar que uma demonstração matemática não pode acontecer somente pela características visuais de uma figura.

Divida seus alunos em grupos, e distribua a cada grupo uma cópia do quebra-cabeça, e deixe-os encontrarem o problema. Professor observe que a figura 1 é um quadrado de lado medindo oito unidades composto por dois trapézios e dois triângulos retângulos, e na figura 2 reagrupamos essas peças de forma que obter um retângulo medindo 5 unidades de largura e treze de comprimento. Logo temos um quadrado de área 64 unidades ao quadrado, e formado pelas mesmas peças um retângulo possuindo área igual a 65 unidades ao quadrado.
Questione seus alunos sobre o fato de a figura 2 possuir uma unidade a mais que a figura 1, sendo compostas pelas mesmas figuras elas não deveriam ter a mesma área? Estimule-os a refletir sobre este fato. Então proponha a seguinte pergunta: há algo de errado? Se sim, onde?

 

Utilizando os conhecimentos adquiridos durante a aula seus alunos deverão verificar, utilizando o conceito de tangente de um ângulo, que a linha AB é um segmento de reta se as tangentes dos ângulos AXC e AXE forem iguais.
É interessante que os alunos  recortem a figura 1 montada em papel quadriculado e tentem reorganizá-la de forma a obter a figura 2, dessa maneira eles notarão que as peças não se encaixam, deverá sobrar um espaço de exatamente uma unidade.
Este tipo de atividade pode ser encerrado levando os alunos a refletirem sobre o fazer Matemática e a questão da natureza do conhecimento matemático, isto é, por que nossos sentidos, como a visão, por exemplo, não bastam para afirmar verdades matemáticas?


Fonte:http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1580 acessado em 17/3/2012
Portal do Professor :http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html

Trabalho Sobre a Estatística

Estatística

Na era da Informática, grandes quantidades de dados são geradas e disponibilizadas cada vez mais rapidamente. Saber analisá-los é fator essencial para transformá-los em informação. Todo Estudo científico, independentemente da usa a área de atuação, é feito com base em dados coletados por meio de uma observação. Em geral,tais dados estão na forma numérica. Após o levantamento desses dados, usa-se a estatística como ferramenta para manipulá-los, organizá-los e analisá-los, o que permite que sejam transformados em informação.

Conceitos Básicos

1.      População e Amostra

O conjunto formado pelos elementos que serão objetos do estudo é a população. Por séries de razões, como número de elementos, tempo, custo etc. não é possível analisar todos os elementos da população. A Estatística permite que, a partir de uma parte da população, seja possível inferir características sobre todas elas. Esse subconjunto da população é chamado de amostra.

2. Variável

È cada uma das características da população que poderá ser analisada no estudo. Ela pode ser:

a) Qualitativa: refere-se a uma característica expressa na forma de um atributo, como cor, forma, classe social etc.

b) Quantitativa: refere-se a uma característica expressa na forma de números, como comprimento, altura,peso,volume etc. Nesse caso, ainda pode ser classificada como :

·         Discreta: os valores a ela atribuídos são provenientes de uma contagem. Assume valores inteiros, como quantidade de itens.

·         Contínua: os valores a ela atribuídos são provenientes de medições. Podem assumir valores reais, como comprimento, peso, altura etc.

Distribuição de Frequências

Uma das maneiras possíveis para analisar dados acerca de uma determinada amostra é verificar a freqüência com que ocorrem. Chama-se freqüência absoluta a quantidade de ocorrências de um determinado dado. A razão entre sua freqüência absoluta e total de observações é chamada de freqüência relativa, expressa geralmente em termos porcentuais. É comum também calcular a freqüência absoluta acumulada, que consiste na soma das freqüências absolutas dos dados anteriores até aquele em questão. Da mesma forma, calcula-se a freqüência relativa acumulada. Em algumas situações, é conveniente agrupar os dados em intervalos ou classes. Para isso, calcula-se a amplitude total da variável, dada pela diferença entre o maior e o menor valor observado. Em seguida, estabelece-se a quantidade de faixas ou classes com que se deseja trabalhar e, por fim, divide-se a amplitude total por esse número, obtendo-se assim a amplitude do intervalo.

Gráficos Estatísticos

Uma das Ferramentas mais utilizadas da estatística, os gráficos permitem uma visualização geométrica dos dados. Com eles, é possível ter uma visão global da pesquisa, bem como identificar alguns aspectos importantes das variáveis. Os mais comuns são:

·         Gráfico de Barras (Horizontal ou Vertical)

·         Gráfico de Segmentos ou Linha

·         Gráfico de Setores

·         Pictogramas

·         Histogramas

O trabalho AVALIATIVO dos 3º ANOS MANHÃ e TARDE será:

1. Elaborar 5 tipos de gráficos da ESTATÍSTICA e confeccionar com material alternativo seus dados.

2. Postar os GRÁFICOS no Blog “Mundo da Matemática”

Prazo de entrega: 3ª Semana de Abril (16/04 à 20/04)

Temas:

1. Fraternidade e Saúde (SUS, número de internações na cidade, estado e Brasil, Cirurgias médias e graves, partos normais x Partos Cesariana etc.)

2. Fontes de Energia Alternativas (Energia Eólica, Energia Solar, Biomassa,Hidrelétricas, consumo médio de 20 residências etc.)

3. Situação da Meio Ambiente com um intervalo de pelo menos 20 anos (Floresta Amazônica, área desmatada, Mata Atlântica, variação de Co no ar, variação média da temperatura etc.)

4. Copa do Mundo e Olimpíadas ( número de medalhas em pelo menos 4 edições diferentes, número de gols, artilheiros, média de público, renda, etc.)

5. ENEM, Prouni e o SISU ( Evolução em número de Inscritos, número de aprovações em Faculdades  Particulares, média de pontos das Redações etc.)

6. Doenças Virais (dengue,H1N1,hepatite A, herpes,AIDS etc.)

Matemática Financeira

O objetivo desta aula é fazer uma abordagem histórica sobre a Matemática Financeira, apresentar os conceitos envolvidos e diferenciar juros simples de juros compostos.
Inicialmente, sugere-se que seja apresentado o texto explicativo abaixo que trata da origem das finanças e do porquê da necessidade de juros nas cobranças realizadas.
O desenvolvimento da Matemática Comercial e Financeira deve-se ao aprimoramento de conceitos como juros, porcentagem, imposto, valor, moeda, banco etc. As noções de porcentagem e de juros vêm sendo empregadas ao longo da história desde pelo menos 2000 a.C., quando se tem registro de sua utilização pelos babilônios. Tais noções surgiram provavelmente quando se percebeu a existência de uma relação entre tempo e dinheiro. Na Babilônia, por exemplo, quando alguém emprestava sementes para o plantio, esperava seu pagamento na próxima colheita. Isso fazia com que o cálculo de juros ocorresse em uma base anual. Com o passar do tempo, criaram-se novas maneiras de se trabalhar com a relação tempo-juros, por meio de juros semestrais, bimestrais, mensais, diários etc. Essa relação foi vinculando-se cada vez mais à instituição bancária, criada pela primeira vez em Veneza no século XII. O acúmulo de capital e a desvalorização da moeda ao longo do tempo estimularam o aprimoramento do conceito de juros e fizeram surgir as instituições bancárias. Hoje, podemos constatar, em jornais e revistas, o uso dos conceitos de Matemática Financeira para projetar diferentes situações econômicas. (adaptado de Bianchini & Paccola, Matemática, Ed. Moderna)
Em seguida, deve-se introduzir as variáveis presentes em um problema de Matemática Financeira, assim como seus respectivos significados:
C - principal ou capital inicial, quantia empregada na transação;
i - taxa de juros, taxa porcentual que incide sobre o capital inicial ou sobre o saldo anterior;
t - tempo de duração da operação financeira, prazo;
J - juros, quantia devida pelo empréstimo ou pela aplicação do capital inicial durante o prazo estabelecido;
M - montante, valor acumulado no final da transação (capital inicial + juros).

ATENÇÃO!
Especial atenção deve ser dada ao seguinte aspecto:
Taxa de juros (i) e prazo (t) devem estar sempre na mesma unidade de tempo.

Na sequência, para falar sobre juros simples e juros compostos, é importante que se apresentem duas ou mais situações-problema, pedindo ajuda dos alunos para resolvê-las. Os problemas podem ser próximos à realidade dos alunos, porém um deve ser com juros simples e outro com juros compostos.
Deve-se ressaltar que um problema de juros simples pode ser modelado por uma função afim e um problema de juros compostos, por uma função exponencial. Além disto, considerando um domínio discreto (domínio = conjunto dos naturais), deve-se observar as semelhanças com uma progressão aritmética e com uma progressão geométrica, respectivamente.
Uma vez trabalhado todos estes tópicos, é importante registrá-los como, por exemplo.
1) Juros Simples: a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. O crescimento é linear, um exemplo típico de Progressão Aritmética.
2) Juros Compostos: a taxa de juros incide sobre o saldo anterior. O crescimen to é exponencial, um e xemplo típico de Pro gressão Geométrica.
Observe que em m omento algum se fala sobre as con hecidas fórmulas de ju ros simples e juros compostos. A intençã o não é valorizar fó rmulas prontas, mas si m o raciocínio do al uno em cada situação diferente. Desta fo rma, o conhecimento se rá, de fato, assimil ado e não apenas dec orado.
Na prática, os juros compostos são mais utilizados do que os juros simples. Por este motivo, para que os alunos entendam onde os juros simples aparecem, a seguir são sugeridas duas situações diferentes para se trabalhar em sala.
A primeira situação está representada pelo gráfico adiante que compara o montante obtido na aplicação de um capital de R$ 100,00, a taxa de juros de 1% ao mês, com juros simples e com juros compostos. Uma modelagem é feita através de uma Função Afim (juros simples) e a outra através de uma Função Exponencial (juros compostos).

Observe que a aplicação a juros compostos é mais vantajosa do que a juros simples para quem aplica, ou seja, para quem recebe, pois o montante aumenta exponencialmente e não linearmente.
Em instituições financeiras, só se utiliza juros compostos, ou seja, juros sobre juros, seja em aplicações, seja em empréstimos.
Já a segunda situação está representada por este outro gráfico que também compara a evolução de um mesmo capital inicial, através de juros simples e de juros compostos, considerando a mesma taxa de juros em ambos os casos.

Neste caso, porém, observa-se que antes de se ter uma unidade de tempo completa, os juros simples são mais vantajosos que os juros compostos para quem recebe. Isto é, se uma taxa de juros mensal incide sobre uma fração do primeiro mês, o retorno será maior se for utilizado juros simples.
Este caso é típico para o cálculo de mora no atraso de contas como luz, gás, telefone e água, já que, usualmente, o usuário percebe que atrasou o pagamento no máximo ao chegar a conta do mês seguinte.
Apesar de, aparentemente, esta teoria inicial ser simples, deve-se tomar o tempo que for necessário para que o conteúdo seja assimilado de forma plena pelos alunos, pois o restante da teoria, acerca da Matemática Financeira, depende do domínio de tais conceitos.
A seguir, tem-se alguns exercícios que podem ser trabalhados com os alunos para fixação do conteúdo estudado.

O que são Juros?   

Para descobrir de quem é o erro, primeiro precisamos analisar qual critério foi usado para os cálculos.   

Quando um valor (capital) é aplicado ou emprestado a uma determinada taxa, o montante pode crescer segundo dois diferentes critérios: de capitalização simples (ou juros simples – 1º caso) e de capitalização composta (ou juros compostos – 2º composto).   

No caso de juros simples, estes incidem sobre o valor inicial. Na prática, esse sistema é usado em pagamentos cujo atraso é de apenas alguns dias.   No caso de juros compostos os juros são incorporados ao capital inicial, passando a render sobre o novo total, “juros sobre juros”.   

Perceba que no caso do empréstimo da moto, a pessoa fez os cálculos no regime de juros simples e a financeira calculou no regime de juros compostos. Por isso, a confusão.

1) Um investidor possui R$ 20 000,00. Ele aplica 40% desse dinheiro em um investimento, que rende juros simples de 5% ao mês, durante 4 meses, e aplica o restante em outro investimento, que rende juros simples de 6% ao mês, durante 4 meses. Calcule quanto o investidor irá ganhar ao fim desse período.
2) À taxa anual de 15%, em que tempo aproximadamente, o capital de R$ 8 000,00 produz R$ 3 600,00 de juros simples?
3) Uma conta de R$ 700,00 vencia no dia 25 de abril de 2008 e foi paga em 5 de maio de 2008. Quais os juros pagos, se os juros de mora (regime simples) são de 12% ao mês?
4) Considere um capital de R$ 200,00 aplicado à taxa de juros de 5% ao mês por um período de 3 meses e responda.
a) Qual o montante obtido no regime de juros simples?
b) Qual o montante obtido no regime de juros compostos?
c) Compare os dois resultados e faça uma representação gráfica das duas situações.
5) Um investidor teve seu capital aumentado de R$ 2 000,00 para R$ 3 380,00 num prazo de 2 anos. Determine a taxa porcentual de crescimento anual desse capital, considerando primeiro o regime de juros simples e, em seguida, o regime de juros compostos.
6) Precisando de R$ 2 000,00, Otília procurou dois amigos, João e Paulo. João emprestaria esse valor a juros compostos de 5% a.m. por 4 meses. Já Paulo se pr opôs a emprestar essa quantia a juros simples de 5,39% a.m. por 4 m eses. Qual dos amigos de Otília oferece mel hores condiç ões? Jus tifique quantit ativamente sua resposta. Considere 1,05⁴=1,2155.
A atividade proposta para os alunos est á disponível para download no link:
www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/matfinanceira/intro.pdf

Atenção!!!! Só hoje, promoção incrível!!!

Fonte: http://www.hondabiz125.com.br/ 

Leve uma moto para casa pagando apenas R$ 2,00 de entrada, R$ 4,00 no primeiro mês,

R$ 8,00 no segundo mês e assim por diante. Aproveite que o tanque vem cheio e você ainda recebe 2 capacetes de brinde.

Não perca, entre e escolha sua cor predileta...

(Obs. Problema adaptado da ideia da professora Dionéia dos Santos Ferreira de Paranaguá/PR)

Atividade 01

Sugestão de encaminhamento:

Ainda de maneira expositiva, o professor deve encaminhar que, ao ler uma propaganda como essa, é difícil não ficar tentado a aquisição. Apenas R$ 2,00 de entrada? Depois R$ 4,00? Porém, a propaganda apresenta toda uma jogada de marketing da empresa ao propor inclusive a escolha da cor.

Será esse um bom negócio???

Observe quais dados aparecem?

O que falta nessa propaganda? Que dados estão ausentes? Esse valor é em quantas parcelas? Qual o valor final?

Depois da discussão, o professor pode prôpor o seguinte quadro na lousa, completando os dados com os alunos.

Questionamentos a partir do quadro:

- Levando-se em consideração que uma moto hoje custa em torno de R$ 5.200,00 (fonte: http://www.hondabiz125.com.br), em quantos meses a aquisição da moto seria vantagem? 

- Quanto teria pago pela moto ao final de 12 meses? (Resposta: R$ 16.382,00 que equivale a mais de 3 x o valor real do produto)

O professor deve aproveitar essa atividade para conscientizar seus alunos da importância desses conhecimentos matemáticos em sua vida futura.

Atividade 02   

Em sala de aula vamos novamente retomar o quadro proposto para a primeira atividade.

Vamos nos orgnaizar em grupos e vamos descobrir qual a lógica de crescimento das parcelas está presente nesta proposta. Depois juntos completem a sequência. A medida que os alunos forem falando, o professor vai preenchendo o quadro na lousa.

Sugestão de questão para reflexão:

- O expoente do valor inicial vai aumentando gradativamente, certo?

Atividade 03: 

A Atividade será executada no laboratório de informática e proponha como atividade a realização do gráfico da tabela que criaram. É importante que os alunos tenham os dados em mãos para que possam primeiro construir a tabela que irá gerar o gráfico.

De posse da tabela, oriente para que desenvolvam um gráfico de dispersão XY, conforme o modelo abaixo. 

Depois do gráfico feito, o professor pode observar se os grupos conseguiram a mesma curva para representar a atividade. Pode também analisar o modelo de curva, o tipo de crescimento e demais detalhes que convier.

Sugestão de questões:

- Qual função que geraria essa curva?

- Que tipo de crescimento observamos?

Professor, estabeleça pistas que levem os alunos a fazer aproximações com o conteúdo de funções exponenciais.  

Atividade 04:

Ainda no laboratório de informática, proponha como atividade a exploração do recurso disponível em http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12294, que possibilita conhecer a definição, propriedades e características da função exponencial.

Función exponencial [Unidades didácticas] 

De volta a sala de aula, ainda com os alunos em grupo, o professor continua de maneira expositiva...   

Propostas como esta, são estudadas por um ramo da matemática, chamada matemática financeira. Sua função é ajudar leigos e economistas a estudar e analisar melhores formas para alcançar seus objetivos no campo pessoal e econômico.   Consideramos que estudar a matemática financeira é um assunto de grande relevância visto que diariamente as pessoas se deparam com diferentes ofertas e, que por conta da estabilização da economia nacional, muitas pessoas passaram a adquirir financiamentos e empréstimos com maior freqüência o que justifica a aprendizagem da Matemática Financeira. Vale lembrar que não fazemos nenhuma crítica a esse tipo de aquisição, desde que ocorra de maneira consciente.

Agora imaginem, retomando o problema do início da aula, que uma pessoa deseja adquirir a moto e para isso, faz um empréstimo de R$ 5.000,00 em uma financeira, comprometendo-se a pagar após 6 meses. A taxa de juros combinada é de 8% ao mês. No final do prazo, porém, ocorre um problema: o valor calculado por ela não coincidia com aquele cobrado pela financeira.   

Atividade Extra

Para essa atividade Precisamos Ir  no laboratório de informática da escola e jogar "na trilha da Economia" Sobre Juros Compostos acessando o link Na Trilha da Economia

  Para aprofundar o conhecimento utilize o recurso disponível em  http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/11418, que apresenta um programa que calcula financiamentos a partir das prestações, taxas de juros e número de meses

Fonte: Portal do Professor(http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=19576 , acessado em 27/10/2012 ás 8:17)

Aprendendo Brincando com Probabilidade(ENEM 2013)

   

que o aluno poderá aprender com esta aula

Efetuar cálculos de probabilidades

Duração das atividades

Duas aulas de 50 minutos cada.

Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Operação de divisão, Porcentagens e Princípio fundamental da contagem

             

No laboratório de informática

              
              

As probabilidades

 Trata-se de uma aplicação que irá trabalhar os conceitos estudados. Ao acessar o aplicativo, siga as orientações até chegar a seguinte tela abaixo que corresponde à atividade 1, que explora a probabilidade através de jogos e propõe fazer uma pesquisa e analisá-la. Com isso, se investiga uma situação e verifica-se a necessidade de uma análise através da probabilidade.

 

               Peça aos seus alunos que acessem a opção “Sorteio na caixa”. Inicialmente o aplicativo mostrará um pouco da história da criação de probabilidade.

               Nesta atividade, os alunos são convidados a preencher inicialmente uma tabela de dupla entrada, com quantidades de algumas “peças” que formarão o conjunto a partir do qual, posteriormente, será efetuado um sorteio.

               Esses elementos têm características que se interceptam. Há “peças” verdes, amarelas ou azuis e há “peças” triangulares e circulares distribuídas pelas 3 cores. O aluno poderá escolher uma das peças e escrever a chance que ela tem de ser sorteada dentre todos os elementos do conjunto.

 

               A cada escolha do aluno, o sistema gera o sorteio aleatório de uma peça e testa a correção da escrita da chance e, também, se o usuário foi feliz em sua escolha, isto é, se a peça que escolheu foi ou não sorteada.

 

               No final, o aluno será convidado a localizar seu rendimento em uma escala de valores. Esse rendimento leva em conta duas questões: a sorte e a correção dos cálculos, com maior valorização desta última variável. Levando em conta a digitação correta ou não da chance de sorteio pelo usuário, e também o sucesso ou o fracasso da escolha feita, o sistema atribui pontos a cada jogada, da seguinte maneira:

                    - Chance correta e sucesso no sorteio = +2
                    - Chance correta e fracasso no sorteio = +1
                    - Chance errada e sucesso no sorteio = 0
                    - Chance errada e fracasso no sorteio = - 1

               Como o jogo consiste de 6 rodadas, o mínimo de pontos exigido para que o aluno mostre que entendeu a atividade é 6; mesmo assim, com a avaliação do professor sobre a digitação do aluno em cada rodada. O sistema emitirá mensagens, sugerindo aos alunos que tenham obtido baixos índices de avaliação de retomar a atividade desde o início. Caberá ao professor acompanhar essas avaliações, com o objetivo de interferir nos casos em que não tenha ficado claro como é feito o cálculo da chance de ocorrência de cada evento.

 PARA ACESSAR O JOGO ENTRE NO LINK   probabilidade

Aplicações

               algumas aplicações da probabilidade no cotidiano e na Ciência tecnológica:
                    • Genética, veja em http://www.infoescola.com/genetica/nocoes-de-probabilidade-em-genetica/
                    • Mega-sena veja em http://www.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/probabilidades.asp

Recursos Educacionais

Nome	Tipo

Avaliação

Para esta aula proponho que você elabore uma lista de exercícios e peça aos seus alunos que a responda e utilize este recurso como avaliação. Como sugestão, acesse o sítio http://aprovadonovestibular.com/wp-content/uploads/2008/09/lista_exer_prob.doc.


fonte : Portal do professor (http://portaldoprofessor.mec.gov.br/)

Geometria Espacial : cones

O cone é um importante sólido da geometria. Estão relacionados ao cone, elementos importantes da matemática como as cônicas que envolvem as curvas da parábola, círculo, elipse e hipérbole. Assim, um bom entendimento do cone pode também auxiliar os alunos em outros conhecimentos importantes relacionados com a geometria. Nessa aula também apresentamos uma forma de manipular o sólido em 3D usando o programa de apresentações do BrOffice, o Impress (http://www.broffice.org).
Abaixo uma imagem de um cone que o professor pode apresentar aos alunos.

Recurso disponível em:
Cone
Sugerimos que o professor proponha que os alunos conheçam melhor o cone por meio da criação dos seus próprios cones. Para isso o Impress oferece um excelente recurso de desenho de objetos em 3D. Vamos ver como isso pode ser feito.

O primeiro passo é exibir a barra de ferramentas de desenho para objetos em 3D.
Basta seguir o caminho indicado na figura acima: Exibir > Barra de ferramentas > Objetos 3D
Clicando no ícone do cone pode-se desenhar, girar, redimensionar e alterar a cor do cone em 3 dimensões.
Observe o exemplo abaixo:

Uma vez que os alunos tenham tido a oportunidade de manipular e conhecer um pouco mais sobre o cone, pode-se partir para um aprofundamento do estudo do cone. A classificação de um cone é o próximo passo.
Classificação de um cone circular
Existem dois tipos de cones a serem apresentados aos alunos.
1. O Cone Reto

Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Cone_3d.png (modificada pelo autor)
O cone reto é o cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base. Porém, antes de apresentar a definição, é importante que o professor pergunte aos alunos que características eles observam no cone e se eles conseguem identificar o motivo da nomenclatura do cone.
2. O Cone Oblíquo

Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Cone_3d.png (modificada pelo autor)
No caso deste cone, é fácil constatar que ele é chamado de oblíquo em função da inclinação do eixo de rotação em relação à base.
Elementos de um cone circular
Possivelmente os alunos identifiquem rapidamente o raio e a altura dos cones apresentados. A idenficação dos elementos são importantes para que possam ser realizados cálculos quando necessários. Observando as imagens podemos considerar a existência dos seguintes elementos:
* altura: a distância h
* geratriz: segmento g entre as extremidades, da ponta à base.
* eixo: representado por a no cone oblíquo. No caso do cone reto, o eixo coincide com a linha da altura.
* raio: identificado por r.

Área e Volume de um Cone
Área
Utilizaremos a planificação de um cone circular reto para tornar o cálculo mais compreensível. Basicamente, o cálculo a ser feito é a da soma das áreas da planificação do cone somada à área da base do cone.

Fonte: imagem cedida pelo autor.

A área lateral (AL) de um cone é obtida por:
AL = . r. g
A área da base (AB) é obtida por:
AB = . r²
A área total  (AT) é a soma da área da base e da área lateral. Portanto:
AT = AL + AB
Usando as expressões anteriores, obtemos:
AT = . r (r + g)
Volume
O volume do cone é dado pela expressão:
V = AT . h  
          3

Se AT = . r²
Temos a fórmula para calcular o volume









fonte :Portal do professor (http://portaldoprofessor.mec.gov.br/)

Geometria Espacial : Esfera

A esfera é um importante sólido da geometria. Além disso aparece em inúmeras aplicações importantes da vida cotidiana. Nessa aula também apresentamos uma forma de manipular o sólido em 3D usando o programa de apresentações do BrOffice, o Impress ( http://www.broffice.org ).
Abaixo uma imagem da esfera que está presente em nosso cotidiano
 
Recurso disponível em:

Esfera

Sempre que possível, é importante relacionar conteúdos com a vida cotidiana. Eis um exemplo que pode ser usado. Não deixe de ver a animação.

Fonte e Animação:http://pt.wikipedia.org/wiki/Rolamento

Os rolamentos são formados por esferas que permitem que ocorra o giro de uma roda em um eixo, como por exemplo nas rodas dos carros.
Sugerimos que o professor proponha que os alunos conheçam melhor a esfera por meio da criação das suas próprias esferas.
Para isso o BrOffice/Impress ( http://www.broffice.org ) oferece um excelente recurso de desenho de objetos em 3D. Vamos ver como isso pode ser feito. É simples.

O primeiro passo é exibir a barra de ferramentas de desenho para objetos em 3D.
Basta seguir o caminho indicado na figura acima: Exibir > Barra de ferramentas > Objetos 3D
Clicando no ícone da esfera pode-se desenhar, girar, redimensionar e alterar a cor da esfera em 3 dimensões.
Observe o exemplo abaixo:

Uma vez que os alunos tenham tido a oportunidade de manipular e conhecer um pouco mais sobre a esfera, pode-se partir para um aprofundamento do estudo da esfera.
Definição de uma esfera
Uma esfera é definida como um sólido de centro O e raio R cujos conjunto de pontos do espaço estão a uma distância do centro igual ou menor que R. Eis uma ilustração a ser apresentada aos alunos:

Fonte: imagem cedida pelo autor.
Área e Volume de uma Esfera
Considerando as interações anteriores, é possível partir para os cálculos mais comuns envolvendo esferas, que são a determinação da área e do volume. O professor pode propor alguns desafios para que sejam utilizadas as expressões abaixo.
Área
A área de uma esfera pode ser obtida a partir da expressão:
A = 4 .  . R²
Volume
O volume da esfera é dado pela expressão:
V =  4  .  . R³
        3
Com os recursos apresentados até aqui é possível partir para um trabalho que envolva a aplicação do que foi estudado. O professor pode pedir aos alunos que procurem outras aplicações da esfera na vida cotidiana e também realizar cálculos de área e volume. Se possível, a continuidade do trabalho com o programa de apresentações Impress nesse conteúdo poderia tornar a aula mais interessante aos alunos.

fonte:Portal do professor (http://portaldoprofessor.mec.gov.br/)

Maquetes Construídas com Planificações de Sólidos

Dados da Aula

O que o aluno poderá aprender com esta aula

O aluno irá rever os conceitos de grandezas proporcionais, escala, área, volume e planificação de sólidos geométricos.

Duração das atividades

6 aulas de 50 minutos

Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Uso de instrumentos de desenho geométrico

Estratégias e recursos da aula

Frequentemente nos deparamos com maquetes escolares que abordam os mais diversos temas, porém, também é comum constatarmos que muitas dessas maquetes não tiveram a preocupação de se adotar uma escala e de se criar formas geométricas tridimensionais bem definidas. O professor de matemática pode, não só desenvolver um trabalho sobre esse tema em sua disciplina, mas também se envolver no trabalho de outros colegas no sentido de se criar um trabalho interdisciplinar que suporte os alunos na questão das proporções a serem adotadas. Outra rica contribuição do professor de matemática nesta temática é a abordagem dos sólidos geométricos e suas planificações. O que vou propor nessas atividades é um conjunto de procedimentos e reflexões que podem enriquecer os trabalhos escolares que usam maquetes. Gostaria de ressaltar ainda que, quando o aluno atinge o domínio dos conceitos e ferramentas que serão mencionados, a construção de brinquedos de papel pode virar uma saudável “mania” entre eles.
Na terceira atividade irei propor a construção de uma maquete em escala tendo como referência um contexto real. Esta atividade deverá ser realizada em grupos. Sugiro que o professor discuta com os alunos, neste primeiro momento, o trabalho que será realizado.

Esta atividade é importante para se fixar o conceito de escala.
 

• Folhas A4;
• Régua e esquadros;
• Lápis, borracha e caneta hidrocor;
• Trena.

Sugiro primeiramente que o professor trabalhe, de forma individual, com os alunos no laboratório de informática de modo que todos completem o objeto de aprendizagem seguinte:

Disponível em: (http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/Escalas/mat_escalas.swf)  
Depois da atividade, os alunos deverão retornar para a sala de aula e, em grupos, estabelecer uma escala para desenhar a planta baixa da sala de aula. O professor deve interferir no processo de desenho sempre que achar necessário. Os alunos poderão expor esses trabalhos no mural da escola.

Nesta atividade proponho uma revisão sobre os principais sólidos geométricos, bem como suas planificações. A planificação de outras figuras tridimensionais também será explorada.

O software livre: Pepakura Viewer (http://www.baixaki.com.br/download/pepakura-viewer.htm) permite que visualizemos objetos tridimensionais planificados com o software (livre para testar):  Pepakura Designer (http://www.baixaki.com.br/download/pepakura-designer.htm)
Na seção de downloads do site oficial do Pepakura (http://www.tamasoft.co.jp/pepakura-en/) está disponível a planificação de vários sólidos geométricos. 
 

Imagens do site oficial do Pepakura
O professor deve baixar o Pepakura Viewer, o arquivo com os sólidos geométricos e imprimir os sólidos que deseja trabalhar com os alunos.
O professor também deverá providenciar tesoura e cola.

Proponho nesta atividade uma série de montagens (recortar, dobrar e colar) de vários sólidos geométricos pelos alunos. A atividade deve ser realizada em grupos.
A aplicação (http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=15195) pode ser bastante útil na visualização da planificação de diversos sólidos geométricos.  
Vale à pena ressaltar a importância de se discutir algumas planificações como a do cilindro.
Faça os alunos refletirem sobre o comprimento do retângulo (2pr) que aparecerá na planificação:

Imagem do autor
É comum os alunos encontrarem o problema da planificação da esfera. Normalmente, quando se trata de uma maquete, os alunos usam esferas de isopor. Além de não ser uma boa solução para o meio ambiente, o professor deixaria de abordar esse interessante problema. Podemos propor o uso de um poliedro como uma razoável aproximação da esfera. Veja o exemplo:

Imagem do autor
Planificando um “gomo”, usando como base as arestas em VG (verdadeira grandeza, ou seja, na medida real e sem interferência da perspectiva), do poliedro teremos:

Imagem do autor
Observe que as linhas em azul estão em VG na vista lateral e as linhas em vermelho estão em VG na vista superior. Juntando 12 gomos teremos a planificação do poliedro:

Imagem do autor
Outra atividade que o professor deve propor aos alunos, visando à observação das técnicas de planificação, é a montagem de outras figuras. Veja as sugestões:
Este site oferece planificações simples de diversos personagens.


Disponível em: (http://www.cubeecraft.com/)  
Ou os modelos:
O Grilo...

Disponível em: (http://www.baixaki.com.br/download/grilo-papercraft.htm)
E A Estrela do Mar 

Disponível em: (http://www.baixaki.com.br/download/estrela-do-mar-papercraft.htm)  
É uma divertida atividade que pode ensinar muito sobre o tema proposto. Os alunos poderão socializar os resultados numa exposição na escola.

As duas primeiras atividades podem funcionar como um valioso treino para a terceira atividade. Nesta última atividade proponho um pequeno projeto onde os alunos, em grupos, construirão uma maquete, usando planificações e respeitando uma escala a ser adotada. O tema pode ser livre ou direcionado de acordo com o interesse do professor. A atividade pode ser realizada de forma interdisciplinar. Supondo o tema “A história dos Meios de Transporte” Neste tema os alunos poderão pesquisar alguns meios de transporte e tentar representá-los, em escala, numa maquete. As estratégias para buscar as medidas reais dos objetos a serem representados podem variar bastante. O aluno pode ter o objeto presente e medi-lo, pode buscar documentos, plantas (blueprints) e especificações em sites, entrar em contato com o fabricante, enfim, pode ser um rico trabalho de pesquisa. O site abaixo oferece plantas de vários veículos, alguns com cotas e outros sem.

Disponível em: (http://www.the-blueprints.com/blueprints/)  
Ainda exemplificando este tema. Vamos supor que o grupo de alunos escolheu o clássico Fiat 147 de 1980:

Disponível em: (http://www.the-blueprints.com/modules/vectordrawings/preview/1646-orig.jpg)  
Além de pesquisar o contexto histórico, eles terão que desenvolver estratégias para fazer a sua planificação (O que terá relevo e o que será desenhado? Qual será a escala adotada? Que tipo de papel é adequado para esse modelo?). O resultado poderia ser:

Imagem do autor
Ou poderia fazer um trabalho mais abrangente e interdisciplinar (História, Educação Artística e Matemática) que tem como tema a arquitetura de uma cidade. Por exemplo: Os alunos poderiam representar em uma maquete os pontos históricos da cidade de Petrópolis. Eles teriam que pesquisar os aspectos arquitetônicos e históricos desses pontos. Um grupo poderia fazer a Catedral Pedro de Alcântara, outro poderia fazer o Museu Imperial ou o Palácio de Cristal. A Prefeitura Municipal de Petrópolis poderia, a pedido dos alunos, disponibilizar documentos oficiais que revelem as reais dimensões dessas construções.
Seria um belo trabalho que mereceria uma ampla exposição para socializar o trabalho com toda a escola.

A dobradinha de softwares Google SketchUp (http://sketchup.google.com/intl/pt-BR/download/) e Pepakura pode render trabalhos incríveis. Basta o aluno dominar o software de modelagem 3D SketchUp, e usar o Pepakura para importar e planificar os modelos construídos. Alguns internautas (uns bem jovens) têm demonstrado verdadeiras obras de arte como o Pepakura. Veja o trabalho abaixo e, acredite, é tudo feito de papel! 

Disponível em: (http://www.youtube.com/watch?v=o0FzvVvnIYI&feature=related) 

Esta aula pode render um excelente e motivador trabalho interdisciplinar. Convoque os professores de história, geografia, biologia e educação artística, entre outros, para discutir um projeto com esta temática. O resultado pode ser muito interessante.

Recursos Complementares

Vídeo que exibe maquetes de ônibus feitas de papel: (http://www.youtube.com/watch?v=aCy6tn3ZJmA&feature=related) 

Avaliação

A avaliação deverá ser feita durante todas as três atividades, com atenção especial na terceira onde os alunos encontrarão os maiores desafios.